UKURAN
DISPERSI
A. PENGERTIAN DISPERSI
Ukuran
dispersi atau ukuran variasi atau ukuran penyimpangan adalah ukuran yang
menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari nilai-nilai
pusatnya atau ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data yang
berbeda dengan nilai-nilai pusatnya.
Ukuran dispersi pada dasarnya adalah pelengkap dari
ukuran nilai pusat dalam menggambarkan sekumpulan data. Jadi, dengan adanya
ukuran dispersi maka penggambaran sekumpulan data akan menjadi lebih jelas dan
tepat.
B. JENIS-JENIS UKURAN DISPERSI
1. Jangkauan (Range, R)
Jangkauan atau ukuran jarak adalah selisih nilai terbesar
data dengan nilai terkecil data. Cara mencari jangkauan dibedakan antara data
tunggal dan data berkelompok.
a. Jangkauan data tunggal
Bila ada sekumpulan data tunggal X1, X2 . . ., Xn maka jangkauannya adalah
Contoh soal:
Tentukan
jangkauan data: 1, 4, 7, 8, 9, 11!
Penyelesaian:
X6 = 11 dan X1
= 1
Jangkauan = X6 – X1 = 11 - 1 = 10
b. Jangkauan data berkelompok
Untuk data berkelompok, jangkauan dapat ditentukan dengan dua cara.
yaitu menggunakan titik atau nilai tengah dan menggunakan tepi kelas.
1) Jangkauan adalah selisih titik
tengah kelas tertinggi dengan titik tengah kelas terendah.
2) Jangkauan adalah selisih tepi
atas kelas tertinggi dengan tepi bawah kelas terendah.
Contoh soal:
Tentukan jangkauan dari distribusi frekuensi berikut
Tabel 4.1
Penyelesaian:
Dari Tabel 4.1 terlihat:
Titik tengah kelas terendah = 142
Titik tengah kelas tertinggi = 172
Tepi bawah kelas terendah =
139,5
Tepi atas kelas tertinggi =
174,5
Jangkauan = 172 - 142 = 30
Jangkauan = 174,5 - 139,5 = 35
2. Jangkauan Antarkuartil dan
Jangkauan Semi Interkuartil
Jangkauan antarkuartil adalah selisih antara nilai
kuartil atas (Q3) dan kuartil bawah (Q1).
Dirumuskan:
Jangkauan semi interkuartil atau simpangan kuartil adalah
setengah dari kuartil atas (Q3) dengan kuartil bawah (Q1). Dirumuskan:
Rumus-rumus di atas berlaku untuk data tunggal dan data
berkelompok.
Contoh Soal:
a. Tentukan jangkauan antar kuartil
dan jangkauan semi interkuartil dari data berikut :
2,4,6,8,10, 12,14
Penyelesaian :
Q1 = 4
dan Q3 = 12
JK = Q3
– Q1
= 12 – 4 = 8
Qd = ½
(12 – 4) = 4
b. Tentukan jangkauan antarkuartil
dan jangkauan semi interkuartil distribusi frekuensi berikut :
Tabel 4.2 Nilai Statistik 80 Mahasiswa
|
Nilai
|
Frekuensi (f)
|
|
30 – 39
40 – 49
50 – 59
60 – 69
70 – 79
80 – 89
90 – 99
|
2
3
5
14
24
20
12
|
|
Jumlah
|
80
|
Penyelesaian:
Jangkauan
antar kuartil (JK) dapat digunakan
untuk menemukan adanya data pencilan,
yaitu data yang berada diluar pagar dalam dan pagar luar. Data pencilan ini
dapat terjadi karena ada kesalahan dari pencatatan atau salah ukur atau berasal
dari kasus yang menyimpang.
Keterangan
:
L =
satu langkah
PD =
pagar dalam
PL =
pagar luar
Contoh soal:
Selidiki apakah terdapat data pencilan dari data
dibawah ini
15, 33, 42, 50, 51, 51, 53, 55, 62, 64, 65, 68, 79,
85, 97
Penyelesaian :
Pada data di atas terdapat nilai 15 dan 97 yang berarti
kurang dari pagar dalam (23) atau lebih dari pagar luar (95). Dengan demikian,
nilai 15 dan 97 termasuk data pencilan, karena itu perlu diteliti ulang. Adanya
nilai 15 dan 97 mungkin disebabkan salah dalam mencatat, salah dalam mengukur,
atau data dari kasus yang menyimpang.
3. Deviasi Rata-Rata (Simpangan
Rata-Rata)
Deviasi rata-rata adalah nilai rata-rata hitung dari
harga mutlak simpangan-simpangannya.
a. Deviasi rata-rata data tunggal
Untuk data tunggal, deviasi rata-ratanya dapat
dihitung dengan menggunakan rumus:
Contoh soal :
Tentukan deviasi rata-rata dari 2, 3, 6, 8, 11
Penyelesaian :
b. Deviasi rata-rata untuk data
berkelompok
Untuk data berkelompok (distribusi frekuensi), deviasi
rata-ratanya dapat dihitung dengan rumus:
Contoh
Soal:
Tentukan deviasi rata-rata dari distribusi frekuensi pada
tabel berikut :
Tabel 4.3 Temperatur selama
sebulan adalah :
|
Interval Temperatur oF
|
Frekuensi (hari)
|
X
|
|
f
|
||||||||||||||||
|
-50 sampai -45,1
-45 sampai -40,1
-40 sampai -35,1
-35 sampai -30,1
-30 sampai -25,1
|
4
10
15
11
10
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
50
|
|
|
255,4
|
4. Varians
Varians adalah nilai tengah kuadrat simpangan dari nilai
tengah atau simpangan rata-rata kuadrat. Untuk sampel, variansnya (varians
sampel) disimbolkan dengan s2. Untuk populasi, variansnya
(varians populasi) disimbolkan dengan
s2 (baca: sigma).
a.
Varians
data tunggal
1) Untuk sampel besar (n > 30)
2) Untuk sampel kecil (n ≤ 30)
Contoh soal:
Tentukan varians dari data 2, 3, 6, 8, 11 !
Penyelesaian :
n
= 5
|
X
|
|
|
X2
|
|
2
3
6
8
11
|
-4
-3
0
2
5
|
16
9
0
4
25
|
4
9
36
64
121
|
|
30
|
|
54
|
234
|
b.
Varians data berkelompok
1) Untuk sampel besar (n > 30)
2) Untuk sampel kecil (n ≤ 30)
Contoh soal:
Tentukan varians dari distribusi frekuensi berikut:
Tabel 4.4 Pengukuran Diameter Pipa
|
Diameter
|
Frekuensi
|
|
65 – 67
68 – 70
71 – 73
74 – 76
77 – 79
80 – 82
|
2
5
13
14
4
2
|
|
Jumlah
|
40
|
Penyelesaian:
|
Diameter
|
f
|
X
|
|
|
|
|
65 – 67
68 – 70
71 – 73
74 – 76
77 – 79
80 – 82
|
2
5
13
14
4
2
|
66
69
72
75
78
81
|
-7,425
-4,425
-1,425
1,575
4,575
7,575
|
55,131
19,581
2,031
2,481
20,931
57,381
|
110,262
97,905
26,403
34,734
83,724
114,762
|
|
Jumlah
|
40
|
-
|
-
|
-
|
467,790
|
5. Simpangan Baku (Standar Deviasi)
Simpangan baku
adalah akar dari tengah kuadrat simpangan dari nilai tengah atau akar simpangan
rata-rata kuadrat. Untuk sampel, simpangan bakunya (simpangan baku sampel)
disimbolkan dengan s. Untuk populasi, simpangan bakunya
(simpangan baku populasi) disimbolkan s (dibaca sigma). Variansnya
tentulah s2 untuk sampel
dan
untuk varians
populasi. Jelasnya s dan s2 merupakan statistik
sedangkan s dan
merupakan
parameter. Untuk nentukan nilai simpangan baku, caranya:
a.
Simpangan baku data tunggal
Untuk seperangkat data X1, X2, X3, .......Xn
(data tunggal) simpangan bakunya dapat ditentukan dengan:
1)
Untuk sampel besar (n
> 30):
2)
Untuk sampel kecil (n
≤ 30)
Contoh soal:
Diberikan sampel dengan data: 8,
7, 10, 11, 4
Tentukan simpangan bakunya.
|
Xi
|
|
|
|
8
7
10
11
4
|
0
-1
2
3
-4
|
0
1
4
9
16
|
|
|
|
|
Rata – rata
= 8
b.
Simpangan baku data berkelompok
1) Untuk sampel besar (n > 30)
2) Untuk sampel kecil (n
)
Contoh soal;
Tentukan simpangan baku
Tabel 4.5 Nilai ujian statistik 100 orang mahasiswa
|
Niali ujian
|
Frekuensi
|
|
40 – 44
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69
70 - 74
|
8
12
19
31
20
6
4
|
|
Jumlah
|
100
|
Penyelesaian:
|
Nilai
|
f
|
X
|
fX
|
|
|
|
|
40 – 44
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69
70 - 74
|
8
12
19
31
20
6
4
|
42
47
52
57
62
67
72
|
336
564
988
1767
1240
402
288
|
-13,85
-8,85
-3,85
1,15
6,15
11,15
16,15
|
191,8225
78,3225
14,8225
1,3225
37,8225
124,3225
260,8225
|
1534,58
939,87
281,63
40,99
756,45
745,94
1043,29
|
|
Jumlah
|
100
|
|
5585
|
|
|
5342,75
|
C. KOEFISIEN VARIASI
Untuk membandingkan dispersi atau variasi dari beberapa
kumpulan data digunakan istilah dispersi relatif, yaitu perbandingan antara
dispersi absolut dan rata-ratanya. Dispersi relatif dirumuskan:
Koefisien Variasi (KV)
Jika dispersi absolut digantikan dengan simpangan bakunya
maka dispersi relatifnya disebut koefisien variasi (KV)
Koefisien
variasi dirumuskan:
Keterangan:
KV = Koefisien variasi
s = simpangan baku
Contoh soal:
Dari hasil sampling terhadap
kandungan Ag dengan menggunakan channel
sampling dan bulk sampling diperoleh data sebagai berikut :
Bulk sampling :
Channel
sampling :
a. Tentukan koefisien
variasi masing-masing
b. Metode sampling yang
mana sebaiknya dilalakukan
Penyelesaian:
Bulk sampling
Channel sampling
a.
Jadi variasi kadar Ag dengan menggunakan Channel sampling lebih besar
daripada variasi kadar Ag dengan menggunakan Bulk Sampling
b. Sebaiknya menggunakan channel
sampling untuk pengambilan sampel.
D. KEMENCENGAN ATAU KECONDONGAN
Kemencengan
atau kecondongan (skewness)
adalah tingkat
ketidaksimetrisan atau kejauhan simetri dari sebuah distribusi.
Jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kanan
daripada yang ke kiri maka distribusi disebut menceng ke kanan atau memiliki
kemencengan positif. Sebaliknya, jika distribusi memiliki ekor yang lebih
panjang ke kiri daripada yang ke kanan maka distribusi disebut menceng ke kiri
atau memiliki kemencengan negatif.
Berikut ini gambar kurva dari distribusi yang menceng ke
kanan (menceng positif) dan menceng ke kiri (menceng negatif).
Gambar
4.1 Kemencengan distribusi (a) Menceng ke kekiri (b) Menceng ke kanan
Untuk mengetahui bahwa konsentrasi distribusi menceng ke
kanan atau menceng ke kiri, dapat digunakan menggunakan metode koefisien
kemencengan Person
Koefisien Kemencengan Pearson
Koefisien kemencengan Pearson merupakan nilai selisih
rata-rata dengan modus dibagi simpangan baku. Koefisien kemencengan Pearson
dirumuskan:
Keterangan:
sk
= koefisien kemencengan Person
Jika
nilai sk dihubungkan dengan keadaan kurva
maka:
1)
sk =
0 —> kurva memiliki bentuk simetris;
2)
sk > 0 —> nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah kanan (
terletak di
sebelah
kanan Mo), sehingga kurva memiliki ekor
memanjang ke kanan, kurva menceng ke kanan atau menceng positif;
3)
sk < 0 —> nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah
kiri (
terletak di
sebelah
kiri Mo), sehingga kurva memiliki ekor
memanjang ke kiri, kurva menceng ke kiri atau menceng negatif.
Contoh
soal:
Berikut
ini adalah frekuensi
debit air sungai
Tabel
4.6 frekuensi debit
sungai
|
Interval Kelas
(m3/s)
|
Frekuensi
(f)
|
|
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 –70
71 – 80
81 – 90
91 – 100
|
4
3
5
8
11
7
2
|
|
Jumlah
|
40
|
a. Tentukan nilai sk dan ujilah
arah kemencengan
b. Gambarkan kurvanya
Penyelesaian:
|
Interval Kelas
(m3/s)
|
Titik Tengah (X)
|
Frekuensi
(f)
|
fX
|
|
|
f
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 –70
71 – 80
81 – 90
91 – 100
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Jumlah
|
|
40
|
2700
|
|
|
10840
|
Dari
hasil perhitungan diperoleh nilai sk -0,446,
yaitu negative maka kurvanya menceng ke kiri atau menceng negatif.
b. Gambar kurva:
Gambar 4.2 Kurva menceng ke kiri untuk
debit air sungai
E. KERUNCINGAN (KURTOSIS)
Keruncingan atau kurtosis adalah tingkat kepuncakan dari
sebuah distribusi yang biasanya diambil secara relatif terhadap suatu
distribusi normal.
Berdasarkan keruncingannya, kurva distribusi dapat
dibedakan atas tiga macam, yaitu sebagai berikut.
1.
Leptokurtik
Leptokurtik merupakan distribusi yang memiliki puncak
relatif tinggi.
2.
Platikurtik
Platikurtik merupakan distribusi yang memiliki puncak
hampir mendatar.
3.
Mesokurtik
Mesokurtik merupakan distribusi
yang memiliki puncak tidak tinggi dan tidak mendatar.
Bila distribusinya merupakan distribusi simetris maka
distribusi mesokurtik dianggap sebagai distribusi normal.
Gambar 4.3 Keruncingan Kurva
Ukuran yang sering digunakan untuk
mengetahui keruncingan suatu distribusi adalah koefisien keruncingan
1. Koefisien Keruncingan
Koefisien keruncingan atau koefisien kurtosis
dilambangkan dengan a4. (alpha 4). Jika hasil
perhitungan koefisien keruncingan diperoleh:
a.
nilai lebih kecil dari 3 (<3) maka distribusinya
adalah distribusi platikurtik:
b.
nilai lebih besar dari 3 (>3) maka distribusinya adalah
distribusi leptokurtik.
c.
nilai yang sama dengan 3 (= 3) maka distribusinya adalah
distribusi mesokurtik.
Untuk mencari nilai koefisien keruncingan, dibedakan
antara data tunggal dan data berkelompok.
1)
Untuk data tunggal
Contoh soal
Tentukan keruncingan kurva dari
data kadar Au hasil pemboran
|
Lubang Bor
|
Kadar Au g/t
|
|
1
|
5,2
|
|
2
|
1,5
|
|
3
|
35,9
|
|
4
|
9,8
|
|
5
|
17,7
|
Penyelesaian:
|
X
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
14,02
|
1778,1824
|
1774462
|
Karena nilainya lebih kecil dari pada 3 yaitu 1,796
maka distribusi platikurtik.
2)
Untuk data
berkelompok
Contoh soal:
Berikut
ini adalah distribusi frekuensi dari pengukuran diameter pipa
|
Diameter
Pipa (mm)
|
Frekuensi
(f)
|
|
65
– 67
68
– 70
71
– 73
74
– 76
77
– 79
80
- 82
|
2
5
13
14
4
2
|
|
Jumlah
|
40
|
a.
Tentukan nilai koefisien
keruncingannya
b.
Gambar grafiknya
Penyelesaian:
Dari
perhitungan diperoleh s = 3,42
|
Diameter
|
f
|
X
|
|
|
|
||||||||||||
|
65 – 67
68 – 70
71 – 73
74 – 76
77 – 79
80 – 82
|
2
5
13
14
4
2
|
66
69
72
75
78
81
|
-7,425
-4,425
-1,425
1,575
4,575
7,575
|
|
|
||||||||||||
|
Jumlah
|
40
|
-
|
-
|
-
|
16472,97
|
Karena nilai keruncingannya
adalah 3,01 maka bentuk kurva tersebut adalah mesokurtik
b.
Grafik:
Gambar
4.4 Keruncingan kurva bagi diameter pipa
Tidak ada komentar:
Posting Komentar